viernes, 29 de enero de 2010

ELEMENTOS BÁSICOS DE ALGEBRA

ELEMENTOS DE ALGEBRA


Expresión algebraica es un conjunto de cantidades numéricas y literales relacionadas entre sí por los signos de las operaciones aritméticas. Las partes de una expresión algebraica separadas por los signos + (más) o – (menos) se llaman términos de la expresión. Término es entonces una cantidad aislada o separada de otras por el signo + o -. (F. Pröschle, Algebra, Ediciones Ceres)

Desarrollo del concepto

En un término hay que distinguir los siguientes elementos:
. El factor literal, que es la letra con su exponente. En el término 6a2 el factor literal es a2
. El coeficiente, que es el factor numérico, indica las veces que el factor literal se repite como sumando. En el término 6a2 el coeficiente es 6. Notemos que también puede ser una letra en el término mx el coeficiente es m.
. El signo, que precede al término, que puede ser + o -.
(Pröschle)
Una expresión que contiene un término se llama monomio, si contiene dos términos se habla de binomio, de trinomio si contiene tres términos y si contiene más términos se habla de polinomio.

Las expresiones algebraicas establecen relaciones matemáticas y permiten describir situaciones especiales o fenómenos físicos, de manera sucinta y clara. La idea de su uso es simplificar la transmisión de información.

En el siglo 9 en el libro que dio nombre al álgebra, el matemático astrónomo Mohammed Ibn Musa al-Kharizmi planteó el siguiente problema:
“Encontrar un número cuyo cuadrado es igual a 40 veces el número menos 4 veces su cuadrado.”
Se puede traducir esa oración a la siguiente ecuación:
n2= 40 n - 4n2(donde n es el número buscado)

Los factores literales en las expresiones algebraicas representan abstracciones de objetos de misma naturaleza que se pueden distinguir mediante sus características.
Por ejemplo, si se tienen cajas de plástico con 4 espacios para bebidas, puedo denominar a cada caja que tengan todos sus espacios con bebidas mediante la letra a, a cada caja que tenga un espacio libre mediante la letra b, c a cada caja que tengan 2 espacios libres, d a cada caja que tengan 3 espacios libres y e a cada caja que no tenga bebidas.
Así, la expresión
3 a + 5b + c +5d +e
indica que hay 3 cajas llenas con bebidas, 5 a las que les falta una bebida, 1 a la que le faltan 2 bebidas, 5 a la que le falta 3 bebidas y una que no tiene bebidas.

(GRAFICO)

Reducción de términos semejante

Supongamos que en una bodega que tiene distintos estantes y se quiere construir un inventario con el número de cajas de bebidas de distinto tipo (ejemplo anterior).

En el primer estante hay 4 cajas llenas con las bebidas y 2 con 2 espacios libres y 24 con 3 espacios libres. La expresión
(4 a + 2c + 24 d)
representa la situación en el primer estante.

En el segundo estante hay 1 caja con un espacio libre y 5 con 3 espacios libres. La expresión
(b + 5d)

representa la situación en el segundo estante.

En el tercer estante hay 8 cajas llenas y 2 con 2 espacios libres. La expresión
(8 a + 2 c)

representa la situación en el tercer estante.

Luego en la bodega se tiene
(4a + 2c + 24d)+ (b + 5d) + (8a + 2c) = (4a + 8a) + b + (2c + 2c) + (24d + 5d)

lo que se puede reducir a 12a + b + 4c + 29d

Luego la reducción de términos semejantes significa sumar o restar los términos que tengan los mismos factores literales.

Evaluación de expresiones algebraicas.

Se dice que se evalúa una expresión algebraica cuando se asigna valores numéricos a los factores literales.

Consideremos en el ejemplo de la bodega que queremos determinar cuantas bebidas tenemos en total. Así las cajas tipo a contienen 4 bebidas, las tipo b contienen 3 bebidas, las tipo c contienen 2 bebidas, las tipo d contienen 1 bebida y las tipo e contienen 0 bebidas. Luego para determinar el número total de bebidas que se tiene en la bodega basta sustituir a = 4, b= 3, c=2, d=1 y e=0.

Así la expresión: 12 a + b + 4c + 29 d = 12.4 + 3 + 4.2 + 29 = 48 + 3 + 8 + 29 = 88

Luego se tiene 88 bebidas en la bodega.

Asimismo si queremos contar los espacios libres en las cajas nos sirve la misma expresión algebraica sustituyendo ahora a = 0, b = 1, c=2, d=3, e=4
12a + b + 4c + 29d = 12 0 + 1 + 4 2 + 29 3 = 96

Uso de paréntesis en expresiones algebraicas.

Recordemos que en una expresión numérica se efectúan primero las operaciones entre paréntesis, luego las multiplicaciones y/o divisiones, y finalmente las sumas y restas.
Así :
(2+4-3)(23+8) = (3)(31)=63

Las mismas reglas aplican a las expresiones algebraicas.
Ejemplos:
((a + 3b - 5a) + 4 a + (6b + 2d + 3b)) = ((3b- 4 a) + 4 a + (9b + 2d))= 3b + 9b + 2d = 12b + 2d

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